Интеграл 9^(1+4*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   1 + 4*x   
 |  9        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 9^{4 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{9^{u}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9^{u}}{4}\, du = \frac{\int 9^{u}\, du}{4}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 9^{u}\, du = \frac{9^{u}}{\log{\left(9 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9^{u}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{9^{4 x + 1}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $9^{4 x + 1} = 9 \cdot 9^{4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 9 \cdot 9^{4 x}\, dx = 9 \int 9^{4 x}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{9^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{9^{u}}{4}\, du = \frac{\int 9^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 9^{u}\, du = \frac{9^{u}}{\log{\left(9 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{9^{u}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{9^{4 x}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 \cdot 9^{4 x}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $9^{4 x + 1} = 9 \cdot 9^{4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 9 \cdot 9^{4 x}\, dx = 9 \int 9^{4 x}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{9^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{9^{u}}{4}\, du = \frac{\int 9^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 9^{u}\, du = \frac{9^{u}}{\log{\left(9 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{9^{u}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{9^{4 x}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 \cdot 9^{4 x}}{4 \log{\left(9 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3^{8 x + 2}}{8 \log{\left(3 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3^{8 x + 2}}{8 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3^{8 x + 2}}{8 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

 7380 
------
log(3)

$$\frac{7380}{\log{\left(3 \right)}}$$

=

=

 7380 
------
log(3)

$$\frac{7380}{\log{\left(3 \right)}}$$

Численный ответ

6717.56549250606

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    1 + 4*x
 |  1 + 4*x          9       
 | 9        dx = C + --------
 |                   4*log(9)
/                            

$$\int 9^{4 x + 1}\, dx = \frac{9^{4 x + 1}}{4 \log{\left(9 \right)}} + C$$

График