Интеграл 2/(2*x-1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  ------- dx
 |  2*x - 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{2 x - 1} = \frac{1}{2 x - 1}$

      2. пусть $u = 2 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\log{\left (2 x - 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\log{\left (2 x - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (2 x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (2 x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |     2              
 |  ------- dx = -pi*I
 |  2*x - 1           
 |                    
/                     
0                     

$$0$$

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    2                         
 | ------- dx = C + log(2*x - 1)
 | 2*x - 1                      
 |                              
/                               

$$\log \left(2\,x-1\right)$$