Интеграл (2-x)/x^3 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  2 - x   
 |  ----- dx
 |     3    
 |    x     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} \left(- x + 2\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3}} \left(u + 2\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{3}} \left(u + 2\right) = \frac{1}{u^{2}} + \frac{2}{u^{3}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{u^{2}}$

         Результат есть: $- \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(- x + 2\right) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Результат есть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(- x + 2\right) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \int \frac{x}{x^{3}}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}}$

         2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Результат есть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |  2 - x        
 |  ----- dx = oo
 |     3         
 |    x          
 |               
/                
0                

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1.83073007580698e+38

Ответ (Неопределённый)

  /                     
 |                      
 | 2 - x          1   1 
 | ----- dx = C + - - --
 |    3           x    2
 |   x                x 
 |                      
/                       

$${{x-1}\over{x^2}}$$