Интеграл (2-x)*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (2 - x)*cos(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 2\right) \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - u \cos{\left (u \right )} - 2 \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u \cos{\left (u \right )}\, du = - \int u \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- u \sin{\left (u \right )} - \cos{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 2 \cos{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- u \sin{\left (u \right )} - 2 \sin{\left (u \right )} - \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - x + 2$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\cos{\left (x \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 2\right) \cos{\left (x \right )} = - x \cos{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int x \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \cos{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- x \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x \sin{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |  (2 - x)*cos(x) dx = 1 - cos(1) + sin(1)
 |                                         
/                                          
0                                          

$$\sin 1-\cos 1+1$$

Численный ответ

1.30116867893976

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 | (2 - x)*cos(x) dx = C - cos(x) + 2*sin(x) - x*sin(x)
 |                                                     
/                                                      

$$-x\,\sin x+2\,\sin x-\cos x$$