Интеграл (2-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |  (2 - x)  dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2 - x\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 - x\right)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

7/3

$$\frac{7}{3}$$

=

=

7/3

$$\frac{7}{3}$$

Численный ответ

2.33333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          3
 |        2          (2 - x) 
 | (2 - x)  dx = C - --------
 |                      3    
/                            

$$\int \left(2 - x\right)^{2}\, dx = C - \frac{\left(2 - x\right)^{3}}{3}$$

График