Интеграл (2*sin(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |            2   
 |  (2*sin(x))  dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(2 \sin{\left (x \right )}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(2 \sin{\left (x \right )}\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 4 \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 x - \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |            2                         
 |  (2*sin(x))  dx = 2 - 2*cos(1)*sin(1)
 |                                      
/                                       
0                                       

$$2-\sin 2$$

Численный ответ

1.09070257317432

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |           2                        
 | (2*sin(x))  dx = C - sin(2*x) + 2*x
 |                                    
/                                     

$$2\,\left(x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}\right)$$