Интеграл (2*x-1)/x (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  2*x - 1   
 |  ------- dx
 |     x      
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 x - \log{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) = 2 - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $2 x - \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - \log{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 x - \log{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |  2*x - 1         
 |  ------- dx = -oo
 |     x            
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-42.0904461339929

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 | 2*x - 1                        
 | ------- dx = C - log(2*x) + 2*x
 |    x                           
 |                                
/                                 

$$2\,x-\log x$$