Интеграл (2*x+1)^-2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |      1        
 |  ---------- dx
 |           2   
 |  (2*x + 1)    
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4 x + 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$

   2. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4 x + 2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{4 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$

   3. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4 x + 2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{4 x + 2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4 x + 2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4 x + 2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |      1              
 |  ---------- dx = 1/3
 |           2         
 |  (2*x + 1)          
 |                     
/                      
0                      

$${{1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |     1                    1     
 | ---------- dx = C - -----------
 |          2          2*(2*x + 1)
 | (2*x + 1)                      
 |                                
/                                 

$$-{{1}\over{2\,\left(2\,x+1\right)}}$$