Интеграл 2*x^2+41*x-91/(x-1)*(x+3)*(x-4) (dx)

Вы ввели

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |  /   2            91                 \   
 |  |2*x  + 41*x - -----*(x + 3)*(x - 4)| dx
 |  \              x - 1                /   
 |                                          
/                                           
0                                           

$$\int_{0}^{1} - \frac{91}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x + 3\right) + 2 x^{2} + 41 x\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{91}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x + 3\right)\, dx = - \int \frac{91}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x + 3\right)\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{91}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x + 3\right)\, dx = 91 \int \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 3\right)}{x - 1}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 3\right)}{x - 1} = x - \frac{12}{x - 1}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{12}{x - 1}\, dx = - 12 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

                  1. пусть $u = x - 1$.

                     Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\log{\left (x - 1 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- 12 \log{\left (x - 1 \right )}$

               Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 12 \log{\left (x - 1 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 3\right)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{12}{x - 1}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, dx = x$

                  1. пусть $u = x - 1$.

                     Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\log{\left (x - 1 \right )}$

                  Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left (x - 1 \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{x}{x - 1}\, dx = - \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int 1\, dx = x$

                     1. пусть $u = x - 1$.

                        Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\log{\left (x - 1 \right )}$

                     Результат есть: $x + \log{\left (x - 1 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- x - \log{\left (x - 1 \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{12}{x - 1}\, dx = - 12 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

                  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

                     Метод #1

                     1. пусть $u = x - 1$.

                        Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\log{\left (x - 1 \right )}$

                     Метод #2

                     1. Перепишите подынтегральное выражение:

                        $\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

                     2. пусть $u = x - 1$.

                        Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\log{\left (x - 1 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- 12 \log{\left (x - 1 \right )}$

               Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 12 \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{91 x^{2}}{2} - 1092 \log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{91 x^{2}}{2} + 1092 \log{\left (x - 1 \right )}$

   1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 41 x\, dx = 41 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{41 x^{2}}{2}$

      Результат есть: $\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{41 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{2 x^{3}}{3} - 25 x^{2} + 1092 \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 x^{3}}{3} - 25 x^{2} + 1092 \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 x^{3}}{3} - 25 x^{2} + 1092 \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                                            
 |  /   2            91                 \                     
 |  |2*x  + 41*x - -----*(x + 3)*(x - 4)| dx = -oo - 1092*pi*I
 |  \              x - 1                /                     
 |                                                            
/                                                             
0                                                             

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-48171.658143885

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                              
 |                                                                              3
 | /   2            91                 \              2                      2*x 
 | |2*x  + 41*x - -----*(x + 3)*(x - 4)| dx = C - 25*x  + 1092*log(-1 + x) + ----
 | \              x - 1                /                                      3  
 |                                                                               
/                                                                                

$${{2\,x^3}\over{3}}+{{41\,x^2}\over{2}}-91\,\left({{x^2}\over{2}}-12 \,\log \left(x-1\right)\right)$$