Интеграл 2^(1-2*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |   1 - 2*x   
     |  2        dx
     |             
    /              
    0              
    0122x+1dx\int_{0}^{1} 2^{- 2 x + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x+1u = - 2 x + 1.

        Тогда пусть du=2dxdu = - 2 dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

        2udu\int 2^{u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2udu=122udu\int 2^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int 2^{u}\, du

          1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            2udu=2ulog(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}

          Таким образом, результат будет: 2u2log(2)- \frac{2^{u}}{2 \log{\left (2 \right )}}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        22x+12log(2)- \frac{2^{- 2 x + 1}}{2 \log{\left (2 \right )}}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        22x+1=222x2^{- 2 x + 1} = 2 \cdot 2^{- 2 x}

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        222xdx=222xdx\int 2 \cdot 2^{- 2 x}\, dx = 2 \int 2^{- 2 x}\, dx

        1. пусть u=2xu = - 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = - 2 dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

          2udu\int 2^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2udu=122udu\int 2^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int 2^{u}\, du

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

              2udu=2ulog(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}

            Таким образом, результат будет: 2u2log(2)- \frac{2^{u}}{2 \log{\left (2 \right )}}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          22x2log(2)- \frac{2^{- 2 x}}{2 \log{\left (2 \right )}}

        Таким образом, результат будет: 22xlog(2)- \frac{2^{- 2 x}}{\log{\left (2 \right )}}

    2. Теперь упростить:

      4xlog(2)- \frac{4^{- x}}{\log{\left (2 \right )}}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      4xlog(2)+constant- \frac{4^{- x}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    4xlog(2)+constant- \frac{4^{- x}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
    Ответ [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |   1 - 2*x         3    
     |  2        dx = --------
     |                4*log(2)
    /                         
    0                         
    34log2{{3}\over{4\,\log 2}}
    Численный ответ [src]
    1.08202128066672
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                    1 - 2*x
     |  1 - 2*x          2       
     | 2        dx = C - --------
     |                   2*log(2)
    /                            
    1log222x-{{1}\over{\log 2\,2^{2\,x}}}