Интеграл 2^(1-3*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   1 - 3*x   
 |  2        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 2^{1 - 3 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - 3 x$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{2^{u}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2^{1 - 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{1 - 3 x} = 2 \cdot 2^{- 3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{- 3 x}\, dx = 2 \int 2^{- 3 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 3 x$.

         Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{2^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cdot 2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{1 - 3 x} = 2 \cdot 2^{- 3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{- 3 x}\, dx = 2 \int 2^{- 3 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 3 x$.

         Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{2^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cdot 2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{2^{1 - 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2^{1 - 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{1 - 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

    7    
---------
12*log(2)

$$\frac{7}{12 \log{\left(2 \right)}}$$

=

=

    7    
---------
12*log(2)

$$\frac{7}{12 \log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

0.841572107185229

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    1 - 3*x
 |  1 - 3*x          2       
 | 2        dx = C - --------
 |                   3*log(2)
/                            

$$\int 2^{1 - 3 x}\, dx = - \frac{2^{1 - 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}} + C$$

График