Интеграл e^(4-5*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   4 - 5*x   
 |  e        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} e^{4 - 5 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 - 5 x} = e^{4} e^{- 5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{4} e^{- 5 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 5 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - 5 x$.

            Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- 5 x}$.

            Тогда пусть $du = - 5 e^{- 5 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{5}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{5}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{4} e^{- 5 x}}{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 - 5 x} = e^{4} e^{- 5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{4} e^{- 5 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 5 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 5 x$.

         Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{4} e^{- 5 x}}{5}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{e^{4 - 5 x}}{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{4 - 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{4 - 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   -1    4
  e     e 
- --- + --
   5    5 

$$- \frac{1}{5 e} + \frac{e^{4}}{5}$$

=

=

   -1    4
  e     e 
- --- + --
   5    5 

$$- \frac{1}{5 e} + \frac{e^{4}}{5}$$

Численный ответ

10.8460541183946

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    4  -5*x
 |  4 - 5*x          e *e    
 | e        dx = C - --------
 |                      5    
/                            

$$\int e^{4 - 5 x}\, dx = C - \frac{e^{4} e^{- 5 x}}{5}$$

График