Интеграл e^(4-3*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   4 - 3*x   
 |  e        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} e^{4 - 3 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 - 3 x} = e^{4} e^{- 3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{4} e^{- 3 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 3 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - 3 x$.

            Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- 3 x}$.

            Тогда пусть $du = - 3 e^{- 3 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{4} e^{- 3 x}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 - 3 x} = e^{4} e^{- 3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{4} e^{- 3 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 3 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 3 x$.

         Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{4} e^{- 3 x}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{e^{4 - 3 x}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{4 - 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{4 - 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       4
  e   e 
- - + --
  3   3 

$$- \frac{e}{3} + \frac{e^{4}}{3}$$

=

=

       4
  e   e 
- - + --
  3   3 

$$- \frac{e}{3} + \frac{e^{4}}{3}$$

Численный ответ

17.2932894015617

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    4  -3*x
 |  4 - 3*x          e *e    
 | e        dx = C - --------
 |                      3    
/                            

$$\int e^{4 - 3 x}\, dx = C - \frac{e^{4} e^{- 3 x}}{3}$$

График