Интеграл e^(4*x+8) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 8$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{4} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} e^{4 x + 8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 x + 8} = e^{8} e^{4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{8} e^{4 x}\, dx = e^{8} \int e^{4 x}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{4} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{8}}{4} e^{4 x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} e^{4 x + 8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} e^{4 x + 8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} e^{4 x + 8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                   8    12
 |   4*x + 8        e    e  
 |  E        dx = - -- + ---
 |                  4     4 
/                           
0                           

$${{E^{12}}\over{4\,\log E}}-{{E^8}\over{4\,\log E}}$$

Численный ответ

39943.4583579905

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    4*x + 8
 |  4*x + 8          e       
 | E        dx = C + --------
 |                      4    
/                            

$${{E^{4\,x+8}}\over{4\,\log E}}$$