Интеграл (e^x)/(1+e^x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     x     
 |    e      
 |  ------ dx
 |       x   
 |  1 + e    
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u + 1}\, du$

      1. пусть $u = u + 1$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(u + 1 \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{x} + 1$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-log(2) + log(1 + e)

$$- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$

=

=

-log(2) + log(1 + e)

$$- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$

Численный ответ

0.620114506958278

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    x                       
 |   e                /     x\
 | ------ dx = C + log\1 + e /
 |      x                     
 | 1 + e                      
 |                            
/                             

$$\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx = C + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$

График