Интеграл (e^x)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |      2   
     |  / x\    
     |  \E /  dx
     |          
    /           
    0           
    01(ex)2dx\int_{0}^{1} \left(e^{x}\right)^{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=exu = e^{x}.

        Тогда пусть du=exdxdu = e^{x} dx и подставим dudu:

        udu\int u\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (ex)2=e2x\left(e^{x}\right)^{2} = e^{2 x}

      2. пусть u=2xu = 2 x.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        eudu\int e^{u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          eudu=12eudu\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      e2x2+constant\frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    e2x2+constant\frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10100500000000
    Ответ [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |      2             2
     |  / x\         1   e 
     |  \E /  dx = - - + --
     |               2   2 
    /                      
    0                      
    E22logE12logE{{E^2}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,\log E}}
    Численный ответ [src]
    3.19452804946533
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                   
     |                    
     |     2           2*x
     | / x\           e   
     | \E /  dx = C + ----
     |                 2  
    /                     
    E2x2logE{{E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}