Интеграл (e^x)^2 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |      2   
 |  / x\    
 |  \E /  dx
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \left(e^{x}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(e^{x}\right)^{2} = e^{2 x}$

   2. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |      2             2
 |  / x\         1   e 
 |  \E /  dx = - - + --
 |               2   2 
/                      
0                      

$${{E^2}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,\log E}}$$

Численный ответ

3.19452804946533

Ответ (Неопределённый)

  /                   
 |                    
 |     2           2*x
 | / x\           e   
 | \E /  dx = C + ----
 |                 2  
/                     

$${{E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}$$