Интеграл cos(7*x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  cos (7*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(7 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{5}{\left(7 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(7 x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 x$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{7}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{35}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{7}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{21}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

         Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{35} - \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35} - \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(7 x \right)} = \sin^{4}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{u^{4}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{4}}{7}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{7}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{35}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{u^{2}}{49}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u^{2}}{7}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{7}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{21}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

      1. пусть $u = 7 x$.

         Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35} - \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(7 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(7 x \right)} = \sin^{4}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

         Тогда пусть $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{u^{4}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{4}}{7}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{7}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{35}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{u^{2}}{49}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u^{2}}{7}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{7}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{21}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21}$

      1. пусть $u = 7 x$.

         Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35} - \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(7 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 15\right) \sin{\left(7 x \right)}}{105}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(7 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 15\right) \sin{\left(7 x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(7 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 15\right) \sin{\left(7 x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       3                  5   
  2*sin (7)   sin(7)   sin (7)
- --------- + ------ + -------
      21        7         35  

$$- \frac{2 \sin^{3}{\left(7 \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(7 \right)}}{35} + \frac{\sin{\left(7 \right)}}{7}$$

=

=

       3                  5   
  2*sin (7)   sin(7)   sin (7)
- --------- + ------ + -------
      21        7         35  

$$- \frac{2 \sin^{3}{\left(7 \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(7 \right)}}{35} + \frac{\sin{\left(7 \right)}}{7}$$

Численный ответ

0.0703451385492448

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                         3                      5     
 |    5               2*sin (7*x)   sin(7*x)   sin (7*x)
 | cos (7*x) dx = C - ----------- + -------- + ---------
 |                         21          7           35   
/                                                       

$$\int \cos^{5}{\left(7 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{5}{\left(7 x \right)}}{35} - \frac{2 \sin^{3}{\left(7 x \right)}}{21} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$$

График