Интеграл cos(x/2)^(5) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $du$:

         $\int 2 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 4 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 2 \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 4 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 4 \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + 2 \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = \sin^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Результат есть: $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $du$:

      $\int 2 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 4 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 2 \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 4 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 4 \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

         Результат есть: $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + 2 \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{5} \sin^{5}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{30} \left(- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 14 \cos{\left (x \right )} + 46\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{30} \left(- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 14 \cos{\left (x \right )} + 46\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{30} \left(- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 14 \cos{\left (x \right )} + 46\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                    
  /                                                    
 |                                 3             5     
 |     5/x\                   4*sin (1/2)   2*sin (1/2)
 |  cos |-| dx = 2*sin(1/2) - ----------- + -----------
 |      \2/                        3             5     
 |                                                     
/                                                      
0                                                      

$${{6\,\sin ^5\left({{1}\over{2}}\right)-20\,\sin ^3\left({{1}\over{2 }}\right)+30\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)}\over{15}}$$

Численный ответ

0.822055182400364

Ответ (Неопределённый)

  /                                 3/x\        5/x\
 |                             4*sin |-|   2*sin |-|
 |    5/x\               /x\         \2/         \2/
 | cos |-| dx = C + 2*sin|-| - --------- + ---------
 |     \2/               \2/       3           5    
 |                                                  
/                                                   

$$2\,\left({{\sin ^5\left({{x}\over{2}}\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3 \left({{x}\over{2}}\right)}\over{3}}+\sin \left({{x}\over{2}}\right) \right)$$