Интеграл cos(x/2)^(3) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

         $\int - 2 u^{2} + 2\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 2 u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 2\, du = 2 u$

            Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Результат есть: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

      $\int - 2 u^{2} + 2\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 2 u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 2\, du = 2 u$

         Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                 3     
 |     3/x\                   2*sin (1/2)
 |  cos |-| dx = 2*sin(1/2) - -----------
 |      \2/                        3     
 |                                       
/                                        
0                                        

$$-{{2\,\sin ^3\left({{1}\over{2}}\right)-6\,\sin \left({{1}\over{2}} \right)}\over{3}}$$

Численный ответ

0.885387472340314

Ответ (Неопределённый)

  /                                 3/x\
 |                             2*sin |-|
 |    3/x\               /x\         \2/
 | cos |-| dx = C + 2*sin|-| - ---------
 |     \2/               \2/       3    
 |                                      
/                                       

$$2\,\left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)-{{\sin ^3\left({{x}\over{2 }}\right)}\over{3}}\right)$$