Интеграл cos(x)*log(sin(x)) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  cos(x)*log(sin(x)) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                     
  /                                                     
 |                                                      
 |  cos(x)*log(sin(x)) dx = -sin(1) + log(sin(1))*sin(1)
 |                                                      
/                                                       
0                                                       

$$\sin 1\,\log \sin 1-\sin 1$$

Численный ответ

-0.986712029162481

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                                        
 | cos(x)*log(sin(x)) dx = C - sin(x) + log(sin(x))*sin(x)
 |                                                        
/                                                         

$$\sin x\,\log \sin x-\sin x$$