Интеграл cos(x)^(9) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     9      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       3           7         9           5            
  4*sin (1)   4*sin (1)   sin (1)   6*sin (1)         
- --------- - --------- + ------- + --------- + sin(1)
      3           7          9          5             

$$- \frac{4 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{4 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{6 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \sin{\left(1 \right)}$$

=

=

       3           7         9           5            
  4*sin (1)   4*sin (1)   sin (1)   6*sin (1)         
- --------- - --------- + ------- + --------- + sin(1)
      3           7          9          5             

$$- \frac{4 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{4 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{6 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \sin{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.406105224735144

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                     
 |                       3           7         9           5            
 |    9             4*sin (x)   4*sin (x)   sin (x)   6*sin (x)         
 | cos (x) dx = C - --------- - --------- + ------- + --------- + sin(x)
 |                      3           7          9          5             
/                                                                       

$$\int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

График