∫ cos(x)^(25). Наконец-то нашёл решение. БЛАГОДАРЮ за ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ .

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |     25      
 |  cos  (x) dx
 |             
/              
0

\int_{0}^{1} \cos^{25}{\left (x \right )}\, dx

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:
$\cos^{25}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{12} \cos{\left (x \right )}$
Перепишите подынтегральное выражение:
$\left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{12} \cos{\left (x \right )} = \sin^{24}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 12 \sin^{22}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 66 \sin^{20}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 220 \sin^{18}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 495 \sin^{16}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 792 \sin^{14}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 924 \sin^{12}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 792 \sin^{10}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 495 \sin^{8}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 220 \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 66 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$
Интегрируем почленно:
1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
  Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
  $\int u^{24}\, du$
  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
    $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  $\frac{1}{25} \sin^{25}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 12 \sin^{22}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 12 \int \sin^{22}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{22}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{23} \sin^{23}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{12}{23} \sin^{23}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int 66 \sin^{20}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 66 \int \sin^{20}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{20}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{21} \sin^{21}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{22}{7} \sin^{21}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 220 \sin^{18}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 220 \int \sin^{18}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{18}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{19} \sin^{19}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{220}{19} \sin^{19}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int 495 \sin^{16}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 495 \int \sin^{16}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{16}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{17} \sin^{17}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{495}{17} \sin^{17}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 792 \sin^{14}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 792 \int \sin^{14}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{14}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{15} \sin^{15}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{264}{5} \sin^{15}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int 924 \sin^{12}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 924 \int \sin^{12}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{12}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{13} \sin^{13}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{924}{13} \sin^{13}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 792 \sin^{10}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 792 \int \sin^{10}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{10}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{11} \sin^{11}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- 72 \sin^{11}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int 495 \sin^{8}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 495 \int \sin^{8}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{8}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $55 \sin^{9}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 220 \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 220 \int \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{6}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{220}{7} \sin^{7}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int 66 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 66 \int \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{66}{5} \sin^{5}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - 12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 12 \int \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$
  1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$ .
    Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$ :
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ :
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$
  Таким образом, результат будет: $- 4 \sin^{3}{\left (x \right )}$
1. Интеграл от косинуса есть синус:
  $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$
Результат есть: $\frac{1}{25} \sin^{25}{\left (x \right )} - \frac{12}{23} \sin^{23}{\left (x \right )} + \frac{22}{7} \sin^{21}{\left (x \right )} - \frac{220}{19} \sin^{19}{\left (x \right )} + \frac{495}{17} \sin^{17}{\left (x \right )} - \frac{264}{5} \sin^{15}{\left (x \right )} + \frac{924}{13} \sin^{13}{\left (x \right )} - 72 \sin^{11}{\left (x \right )} + 55 \sin^{9}{\left (x \right )} - \frac{220}{7} \sin^{7}{\left (x \right )} + \frac{66}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - 4 \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$
Теперь упростить:
$\frac{1}{16900975} \left(676039 \sin^{24}{\left (x \right )} - 8817900 \sin^{22}{\left (x \right )} + 53117350 \sin^{20}{\left (x \right )} - 195695500 \sin^{18}{\left (x \right )} + 492116625 \sin^{16}{\left (x \right )} - 892371480 \sin^{14}{\left (x \right )} + 1201269300 \sin^{12}{\left (x \right )} - 1216870200 \sin^{10}{\left (x \right )} + 929553625 \sin^{8}{\left (x \right )} - 531173500 \sin^{6}{\left (x \right )} + 223092870 \sin^{4}{\left (x \right )} - 67603900 \sin^{2}{\left (x \right )} + 16900975\right) \sin{\left (x \right )}$
Добавляем постоянную интегрирования:
$\frac{1}{16900975} \left(676039 \sin^{24}{\left (x \right )} - 8817900 \sin^{22}{\left (x \right )} + 53117350 \sin^{20}{\left (x \right )} - 195695500 \sin^{18}{\left (x \right )} + 492116625 \sin^{16}{\left (x \right )} - 892371480 \sin^{14}{\left (x \right )} + 1201269300 \sin^{12}{\left (x \right )} - 1216870200 \sin^{10}{\left (x \right )} + 929553625 \sin^{8}{\left (x \right )} - 531173500 \sin^{6}{\left (x \right )} + 223092870 \sin^{4}{\left (x \right )} - 67603900 \sin^{2}{\left (x \right )} + 16900975\right) \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{16900975} \left(676039 \sin^{24}{\left (x \right )} - 8817900 \sin^{22}{\left (x \right )} + 53117350 \sin^{20}{\left (x \right )} - 195695500 \sin^{18}{\left (x \right )} + 492116625 \sin^{16}{\left (x \right )} - 892371480 \sin^{14}{\left (x \right )} + 1201269300 \sin^{12}{\left (x \right )} - 1216870200 \sin^{10}{\left (x \right )} + 929553625 \sin^{8}{\left (x \right )} - 531173500 \sin^{6}{\left (x \right )} + 223092870 \sin^{4}{\left (x \right )} - 67603900 \sin^{2}{\left (x \right )} + 16900975\right) \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

График

Ответ [src]

  1                                                                                                                                                                                            
  /                                                                                                                                                                                            
 |                                                                15             7             19            23         25            21            5             17             13            
 |     25                 11           3            9      264*sin  (1)   220*sin (1)   220*sin  (1)   12*sin  (1)   sin  (1)   22*sin  (1)   66*sin (1)   495*sin  (1)   924*sin  (1)         
 |  cos  (x) dx = - 72*sin  (1) - 4*sin (1) + 55*sin (1) - ------------ - ----------- - ------------ - ----------- + -------- + ----------- + ---------- + ------------ + ------------ + sin(1)
 |                                                              5              7             19             23          25           7            5             17             13              
/                                                                                                                                                                                              
0

{{676039\,\sin ^{25}1-8817900\,\sin ^{23}1+53117350\,\sin ^{21}1- 195695500\,\sin ^{19}1+492116625\,\sin ^{17}1-892371480\,\sin ^{15}1 +1201269300\,\sin ^{13}1-1216870200\,\sin ^{11}1+929553625\,\sin ^91 -531173500\,\sin ^71+223092870\,\sin ^51-67603900\,\sin ^31+16900975 \,\sin 1}\over{16900975}}

Численный ответ [src]

0.248169346137371

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                                                                                                             
 |                                                                 15             7             19            23         25            21            5             17             13            
 |    25                   11           3            9      264*sin  (x)   220*sin (x)   220*sin  (x)   12*sin  (x)   sin  (x)   22*sin  (x)   66*sin (x)   495*sin  (x)   924*sin  (x)         
 | cos  (x) dx = C - 72*sin  (x) - 4*sin (x) + 55*sin (x) - ------------ - ----------- - ------------ - ----------- + -------- + ----------- + ---------- + ------------ + ------------ + sin(x)
 |                                                               5              7             19             23          25           7            5             17             13              
/

{{676039\,\sin ^{25}x-8817900\,\sin ^{23}x+53117350\,\sin ^{21}x- 195695500\,\sin ^{19}x+492116625\,\sin ^{17}x-892371480\,\sin ^{15}x +1201269300\,\sin ^{13}x-1216870200\,\sin ^{11}x+929553625\,\sin ^9x -531173500\,\sin ^7x+223092870\,\sin ^5x-67603900\,\sin ^3x+16900975 \,\sin x}\over{16900975}}

Упростить

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Выражения c функциями

Интеграл cos(x)^(25) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Кусочно-заданная:

Решение