Интеграл cot(3-x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  cot(3 - x) dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \cot{\left(3 - x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left(3 - x \right)} = - \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x - 3 \right)}}{\sin{\left(x - 3 \right)}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left(x - 3 \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x - 3 \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

      Метод #2

      1. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   /       2   \                     /       2   \               
log\1 + tan (2)/                  log\1 + tan (3)/               
---------------- - log(-tan(2)) - ---------------- + log(-tan(3))
       2                                 2                       

$$\log{\left(- \tan{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(- \tan{\left(2 \right)} \right)} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(3 \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(1 + \tan^{2}{\left(2 \right)} \right)}}{2}$$

=

=

   /       2   \                     /       2   \               
log\1 + tan (2)/                  log\1 + tan (3)/               
---------------- - log(-tan(2)) - ---------------- + log(-tan(3))
       2                                 2                       

$$\log{\left(- \tan{\left(3 \right)} \right)} - \log{\left(- \tan{\left(2 \right)} \right)} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(3 \right)} + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(1 + \tan^{2}{\left(2 \right)} \right)}}{2}$$

Численный ответ

-1.86306159351493

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 | cot(3 - x) dx = C - log(sin(-3 + x))
 |                                     
/                                      

$$\int \cot{\left(3 - x \right)}\, dx = C - \log{\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \right)}$$

График