Интеграл log(e^(2*x)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     / 2*x\   
 |  log\E   / dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \log{\left (e^{2 x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{2 x}$.

      Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log^{2}{\left (e^{2 x} \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (e^{2 x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $x^{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \log^{2}{\left (e^{2 x} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log^{2}{\left (e^{2 x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \log^{2}{\left (e^{2 x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     / 2*x\       
 |  log\E   / dx = 1
 |                  
/                   
0                   

$$\log E$$

Численный ответ

1.0