Интеграл log(1/(x+1)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /  1  \   
 |  log|-----| dx
 |     \x + 1/   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{1}{x + 1} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{1}{x + 1} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{x + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{x}{x + 1}\, dx = - \int \frac{x}{x + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- x + \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\frac{1}{x + 1} \right )} + x - \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\frac{1}{x + 1} \right )} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\frac{1}{x + 1} \right )} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |     /  1  \                  
 |  log|-----| dx = 1 - 2*log(2)
 |     \x + 1/                  
 |                              
/                               
0                               

$$1-2\,\log 2$$

Численный ответ

-0.386294361119891

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |    /  1  \                                /  1  \
 | log|-----| dx = C + x - log(1 + x) + x*log|-----|
 |    \x + 1/                                \x + 1/
 |                                                  
/                                                   

$$-\left(x+1\right)\,\log \left(x+1\right)+x+1$$