Интеграл log((1-x)/(1+x)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /1 - x\   
 |  log|-----| dx
 |     \1 + x/   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{- x + 1} \left(x + 1\right) \left(- \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $2 du$:

      $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du$

         1. пусть $u = u^{2} - 1$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (u^{2} - 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (x^{2} - 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x + 1} \left(x + 1\right) \left(- \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 1 \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x + 1} \left(x + 1\right) \left(- \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{x^{3}}{- x^{3} - x^{2} + x + 1} - \frac{x^{2}}{- x^{2} + 1} - \frac{x}{- x^{3} - x^{2} + x + 1} - \frac{x}{- x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{- x^{3} - x^{2} + x + 1} = -1 + \frac{5}{4 x + 4} - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{4 x - 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{4 x + 4}\, dx = \frac{5}{4} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5}{4} \log{\left (x + 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 1}$

               Метод #2

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$

               2. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

                  None

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 x + 2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{4 x - 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )}$

         Результат есть: $- x - \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{5}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2 x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x^{2}}{- x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{x^{2}}{- x^{2} + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{- x^{2} + 1} = -1 + \frac{1}{2 x + 2} - \frac{1}{2 x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, dx = - x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2 x - 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

            Результат есть: $- x - \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{- x^{3} - x^{2} + x + 1}\, dx = - \int \frac{x}{- x^{3} - x^{2} + x + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{- x^{3} - x^{2} + x + 1} = \frac{1}{4 x + 4} - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{4 x - 4}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 x + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 1}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 x + 2}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{4 x - 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2 x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2 x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{- x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{x}{- x^{2} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \log{\left (- x^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (- x^{2} + 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (- x^{2} + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} - \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} - \log{\left (x^{2} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} - \log{\left (x^{2} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |     /1 - x\                        
 |  log|-----| dx = -2*log(2) + 2*pi*I
 |     \1 + x/                        
 |                                    
/                                     
0                                     

$$-2\,\log 2$$

Численный ответ

-1.38629436111989

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 |    /1 - x\             /      2\        /1 - x\
 | log|-----| dx = C - log\-1 + x / + x*log|-----|
 |    \1 + x/                              \1 + x/
 |                                                
/                                                 

$$x\,\log \left({{1-x}\over{x+1}}\right)-\log \left(x+1\right)-\log \left(x-1\right)$$