Интеграл log(1+1/x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |     /      1\   
 |  log|1 + 1*-| dx
 |     \      x/   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\, dx = - \int \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{x + 1}$

      2. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{x + 1}$

      2. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

2*log(2)

$$2 \log{\left(2 \right)}$$

=

=

2*log(2)

$$2 \log{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

1.38629436111989

Ответ (Неопределённый)

  /                                                          
 |                                                           
 |    /      1\             /2\        /      1\      /    2\
 | log|1 + 1*-| dx = C - log|-| + x*log|1 + 1*-| + log|2 + -|
 |    \      x/             \x/        \      x/      \    x/
 |                                                           
/                                                            

$$\int \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + x \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \log{\left(\frac{2}{x} \right)} + \log{\left(2 + \frac{2}{x} \right)}$$

График