Интеграл log(1+x/5) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /    x\   
 |  log|1 + -| dx
 |     \    5/   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{5} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{5}$ и подставим $5 du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = 5 \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $5 u \log{\left (u \right )} - 5 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + 5 \left(\frac{x}{5} + 1\right) \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )} - 5$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\frac{5 x}{5} + 5}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{\frac{5 x}{5} + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{x}{\frac{x}{5} + 1}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x}{5} + 1} = 5 - \frac{25}{x + 5}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 5\, dx = 5 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{25}{x + 5}\, dx = - 25 \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 25 \log{\left (x + 5 \right )}$

            Результат есть: $5 x - 25 \log{\left (x + 5 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x}{5} + 1} = \frac{x}{\frac{x}{5} + 1}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{\frac{x}{5} + 1} = 5 - \frac{25}{x + 5}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 5\, dx = 5 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{25}{x + 5}\, dx = - 25 \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 25 \log{\left (x + 5 \right )}$

            Результат есть: $5 x - 25 \log{\left (x + 5 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x - 5 \log{\left (x + 5 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \left(x + 5\right) \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )} - 5$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x + 5\right) \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )} - 5+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \left(x + 5\right) \log{\left (\frac{x}{5} + 1 \right )} - 5+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |     /    x\                              
 |  log|1 + -| dx = -1 - 6*log(5) + 6*log(6)
 |     \    5/                              
 |                                          
/                                           
0                                           

$$5\,\left({{6\,\log \left({{6}\over{5}}\right)}\over{5}}-{{1}\over{5 }}\right)$$

Численный ответ

0.0939293407637278

Ответ (Неопределённый)

  /                                                   
 |                                                    
 |    /    x\               5*x     /    x\    /    x\
 | log|1 + -| dx = -5 + C - --- + 5*|1 + -|*log|1 + -|
 |    \    5/                5      \    5/    \    5/
 |                                                    
/                                                     

$$5\,\left(-{{x}\over{5}}+\log \left({{x}\over{5}}+1\right)\,\left({{ x}\over{5}}+1\right)-1\right)$$