Интеграл log(1+x*x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  log(1 + x*x) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x x + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x x + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x x + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                         pi         
 |  log(1 + x*x) dx = -2 + -- + log(2)
 |                         2          
/                                     
0                                     

$${{2\,\log 2+\pi-4}\over{2}}$$

Численный ответ

0.263943507354842

Ответ (Неопределённый)

  /                                                      
 |                                                       
 | log(1 + x*x) dx = C - 2*x + 2*atan(x) + x*log(1 + x*x)
 |                                                       
/                                                        

$$x\,\log \left(x^2+1\right)-2\,\left(x-\arctan x\right)$$