Интеграл log(sin(x)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  log(sin(x)) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

   Но интеграл

   $\int \frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\, dx$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    1               
  /                    /               
 |                    |                
 |  log(sin(x)) dx =  |  log(sin(x)) dx
 |                    |                
/                    /                 
0                    0                 

$$-i\,\arctan \left({{\sin 1}\over{\cos 1+1}}\right)-i\,\arctan \left({{\sin 1}\over{\cos 1-1}}\right)+\log \sin 1-{{\log \left(2\, \cos 1+2\right)}\over{2}}-{{\log \left(2-2\,\cos 1\right)}\over{2}}+ i\,{\it li}_{2}(e^{i})+i\,{\it li}_{2}(-e^{i})-{{i\,\pi^2}\over{12}} +{{i}\over{2}}$$

Численный ответ

-1.05672020599159

Ответ (Неопределённый)

                          /                           
  /                      |                            
 |                       | x*cos(x)                   
 | log(sin(x)) dx = C -  | -------- dx + x*log(sin(x))
 |                       |  sin(x)                    
/                        |                            
                        /                             

$$x\,\log \sin x-{{x\,\log \left(\sin ^2x+\cos ^2x+2\,\cos x+1\right) +x\,\log \left(\sin ^2x+\cos ^2x-2\,\cos x+1\right)+2\,i\,x\, {\rm atan2}\left(\sin x , \cos x+1\right)-2\,i\,x\,{\rm atan2}\left( \sin x , 1-\cos x\right)-2\,i\,{\it li}_{2}(e^{i\,x})-2\,i\,{\it li} _{2}(-e^{i\,x})-i\,x^2}\over{2}}$$