Интеграл (log(y))^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  log (y) dy
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(y \right)}^{2}\, dy$$

Подробное решение

1. пусть $u = \log{\left(y \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dy}{y}$ и подставим $du$:

   $\int u^{2} e^{u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $y \log{\left(y \right)}^{2} - 2 y \log{\left(y \right)} + 2 y$

2. Теперь упростить:

   $y \left(\log{\left(y \right)}^{2} - 2 \log{\left(y \right)} + 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y \left(\log{\left(y \right)}^{2} - 2 \log{\left(y \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$y \left(\log{\left(y \right)}^{2} - 2 \log{\left(y \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

2

$$2$$

=

=

2

$$2$$

Численный ответ

2.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                                              
 |    2                        2                
 | log (y) dy = C + 2*y + y*log (y) - 2*y*log(y)
 |                                              
/                                               

$$\int \log{\left(y \right)}^{2}\, dy = C + y \log{\left(y \right)}^{2} - 2 y \log{\left(y \right)} + 2 y$$