Интеграл (log(x+3))/(x+3) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  log(x + 3)   
 |  ---------- dx
 |    x + 3      
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{\log{\left (x + 3 \right )}}{x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left (x + 3 \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x + 3}$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 3 \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = x + 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

      1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 3 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 3 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                     2         2   
 |  log(x + 3)      log (4)   log (3)
 |  ---------- dx = ------- - -------
 |    x + 3            2         2   
 |                                   
/                                    
0                                    

$${{\left(\log 4\right)^2}\over{2}}-{{\left(\log 3\right)^2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.357431547430112

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                        2       
 | log(x + 3)          log (x + 3)
 | ---------- dx = C + -----------
 |   x + 3                  2     
 |                                
/                                 

$${{\left(\log \left(x+3\right)\right)^2}\over{2}}$$