Интеграл 1/(4*x+2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  4*x + 2   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{4 x + 2} = \frac{1}{4 x + 2}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     1           log(2)   log(6)
 |  ------- dx = - ------ + ------
 |  4*x + 2          4        4   
 |                                
/                                 
0                                 

$${{\log 6}\over{4}}-{{\log 2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.274653072167027

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(4*x + 2)
 | ------- dx = C + ------------
 | 4*x + 2               4      
 |                              
/                               

$${{\log \left(4\,x+2\right)}\over{4}}$$