Интеграл 1/(9-4*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       1      
 |  1*------- dx
 |    9 - 4*x   
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{9 - 4 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 9 - 4 x$.

      Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{16 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(9 - 4 x \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{9 - 4 x} = - \frac{1}{4 x - 9}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{4 x - 9}\right)\, dx = - \int \frac{1}{4 x - 9}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x - 9$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{16 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(4 x - 9 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(4 x - 9 \right)}}{4}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{9 - 4 x} = - \frac{1}{4 x - 9}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{4 x - 9}\right)\, dx = - \int \frac{1}{4 x - 9}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x - 9$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{16 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(4 x - 9 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(4 x - 9 \right)}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\log{\left(9 - 4 x \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(9 - 4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(9 - 4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(5)   log(9)
- ------ + ------
    4        4   

$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(9 \right)}}{4}$$

=

=

  log(5)   log(9)
- ------ + ------
    4        4   

$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(9 \right)}}{4}$$

Численный ответ

0.14694666622553

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |      1             log(9 - 4*x)
 | 1*------- dx = C - ------------
 |   9 - 4*x               4      
 |                                
/                                 

$$\int 1 \cdot \frac{1}{9 - 4 x}\, dx = C - \frac{\log{\left(9 - 4 x \right)}}{4}$$

График