Интеграл 1/(2-cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |        1        
 |  1*---------- dx
 |    2 - cos(x)   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{2 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $1 \cdot \frac{1}{2 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 2}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 2}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- \frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       ___       ___ /          /  ___         \\
2*pi*\/ 3    2*\/ 3 *\-pi + atan\\/ 3 *tan(1/2)//
---------- + ------------------------------------
    3                         3                  

$$\frac{2 \sqrt{3} \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}\right)}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$$

=

=

       ___       ___ /          /  ___         \\
2*pi*\/ 3    2*\/ 3 *\-pi + atan\\/ 3 *tan(1/2)//
---------- + ------------------------------------
    3                         3                  

$$\frac{2 \sqrt{3} \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}\right)}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$$

Численный ответ

0.875002134035093

Ответ (Неопределённый)

                                 /        /x   pi\                     \
                                 |        |- - --|                     |
  /                          ___ |        |2   2 |       /  ___    /x\\|
 |                       2*\/ 3 *|pi*floor|------| + atan|\/ 3 *tan|-|||
 |       1                       \        \  pi  /       \         \2///
 | 1*---------- dx = C + -----------------------------------------------
 |   2 - cos(x)                                 3                       
 |                                                                      
/                                                                       

$$\int 1 \cdot \frac{1}{2 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{3} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{3}$$

График