Интеграл 1/(2*cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  2*cos(x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 \cos{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | 2*cos(x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

   1    
--------
2*cos(x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(x)

получим

           /cos(x)\
           |------|
   1       \  2   /
-------- = --------
2*cos(x)      2    
           cos (x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
cos (x) = 1 - sin (x)

преобразуем знаменатель

/cos(x)\     /cos(x)\ 
|------|     |------| 
\  2   /     \  2   / 
-------- = -----------
   2              2   
cos (x)    1 - sin (x)

сделаем замену

u = sin(x)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |   /cos(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - sin (x)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |   /cos(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - sin (x)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = dx*cos(x)

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

               1       1  
             ----- + -----
    1        1 - u   1 + u
---------- = -------------
  /     2\         4      
2*\1 - u /                

тогда

                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           4             4       
 | 2*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  

= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4

делаем обратную замену

u = sin(x)

Ответ

  /                                                       
 |                                                        
 |    1            log(-1 + sin(x))   log(1 + sin(x))     
 | -------- dx = - ---------------- + --------------- + C0
 | 2*cos(x)               4                  4            
 |                                                        
/                                                         

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                                   
 |     1            log(1 - sin(1))   log(1 + sin(1))
 |  -------- dx = - --------------- + ---------------
 |  2*cos(x)               4                 4       
 |                                                   
/                                                    
0                                                    

$${{{{\log \left(\sin 1+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(1-\sin 1 \right)}\over{2}}}\over{2}}$$

Численный ответ

0.613095585441759

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |    1              log(-1 + sin(x))   log(1 + sin(x))
 | -------- dx = C - ---------------- + ---------------
 | 2*cos(x)                 4                  4       
 |                                                     
/                                                      

$${{{{\log \left(\sin x+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin x-1 \right)}\over{2}}}\over{2}}$$