Интеграл 1/cbrt(x+3) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |        1       
 |  1*--------- dx
 |    3 _______   
 |    \/ x + 3    
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt[3]{x + 3}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $3 du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = 3 \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}}$

   2. пусть $u = x + 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3}{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3}{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3}{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

             2/3
  3 ___   3*3   
3*\/ 2  - ------
            2   

$$- \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2} + 3 \cdot \sqrt[3]{2}$$

=

=

             2/3
  3 ___   3*3   
3*\/ 2  - ------
            2   

$$- \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2} + 3 \cdot \sqrt[3]{2}$$

Численный ответ

0.659637415106763

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                               2/3
 |       1              3*(3 + x)   
 | 1*--------- dx = C + ------------
 |   3 _______               2      
 |   \/ x + 3                       
 |                                  
/                                   

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}}\, dx = C + \frac{3 \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$

График