Интеграл 1/sqrt(x^2+y^2) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |     _________   
 |    /  2    2    
 |  \/  x  + y     
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

2. Thесть integral must be done piecewестьe.

   For the interval where $y^{2} > 0$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{y^{2}}} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}}$.

         Тогда пусть $du = \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} dx$ и подставим $du \sqrt{y^{2}}$:

         $\int \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx = \sqrt{y^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx$

            InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(u**2 + 1), symbol=u)

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{y^{2}} \operatorname{asinh}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{y^{2}} \operatorname{asinh}{\left (x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\operatorname{asinh}{\left (x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right )}$

   For the interval where $y^{2} < 0$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{- y^{2}}} \int \frac{1}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{y^{2}} - 1}}\, dx$

      1. пусть $u = x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}}$.

         Тогда пусть $du = \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} dx$ и подставим $du \sqrt{- y^{2}}$:

         $\int \frac{\sqrt{- y^{2}}}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{- y^{2}}}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, dx = \sqrt{- y^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, dx$

            InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(u**2 - 1), symbol=u)

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- y^{2}} \operatorname{acosh}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{- y^{2}} \operatorname{acosh}{\left (x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\operatorname{acosh}{\left (x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \operatorname{asinh}{\left (x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right )} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\\operatorname{acosh}{\left (x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right )} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \operatorname{asinh}{\left (x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right )} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\\operatorname{acosh}{\left (x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right )} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |       1                 /1\
 |  ------------ dx = asinh|-|
 |     _________           \y/
 |    /  2    2               
 |  \/  x  + y                
 |                            
/                             
0                             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left (\frac{1}{y} \right )}$$

Ответ (Неопределённый)

                         //     /       ____\             \
                         ||     |      / 1  |        2    |
  /                      ||asinh|x*   /  -- |   for y  > 0|
 |                       ||     |    /    2 |             |
 |      1                ||     \  \/    y  /             |
 | ------------ dx = C + |<                               |
 |    _________          ||     /       _____\            |
 |   /  2    2           ||     |      / -1  |       2    |
 | \/  x  + y            ||acosh|x*   /  --- |  for y  < 0|
 |                       ||     |    /     2 |            |
/                        \\     \  \/     y  /            /

$${\rm asinh}\; \left({{x}\over{\left| y\right| }}\right)$$