Интеграл 1/(-2*x-1) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    -2*x - 1   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{- 2 x - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 2 x - 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{- 2 x - 1} = - \frac{1}{2 x + 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{- 2 x - 1} = - \frac{1}{2 x + 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-log(3) 
--------
   2    

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$

=

=

-log(3) 
--------
   2    

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$

Численный ответ

-0.549306144334055

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 |      1              log(-2*x - 1)
 | 1*-------- dx = C - -------------
 |   -2*x - 1                2      
 |                                  
/                                   

$$\int 1 \cdot \frac{1}{- 2 x - 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{2}$$

График