Интеграл 1/(1-e^(-x)) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |       -x   
 |  1 - E     
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - e^{- x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{1 - e^{- x}} = \frac{1}{1 - e^{- x}}$

2. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(1 - \frac{1}{u}\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(1 - \frac{1}{u}\right)} = \frac{1}{u - 1}$

      2. пусть $u = u - 1$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (u - 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(1 - \frac{1}{u}\right)} = \frac{1}{u - 1}$

      2. пусть $u = u - 1$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (u - 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\log{\left (e^{x} - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (e^{x} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (e^{x} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     1                  
 |  ------- dx = oo + pi*I
 |       -x               
 |  1 - E                 
 |                        
/                         
0                         

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - e^{- x}}\, dx = \infty + i \pi$$

Численный ответ

44.6322816409612

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1                /      x\
 | ------- dx = C + log\-1 + e /
 |      -x                      
 | 1 - E                        
 |                              
/                               

$$x+{{\log \left({{1}\over{E^{x}}}-1\right)}\over{\log E}}$$