Интеграл 1/(1-t) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      1     
 |  1*----- dt
 |    1 - t   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{1 - t}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - t$.

      Тогда пусть $du = - dt$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(1 - t \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{1 - t} = - \frac{1}{t - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{t - 1}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t - 1}\, dt$

      1. пусть $u = t - 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(t - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(t - 1 \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{1 - t} = - \frac{1}{t - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{t - 1}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t - 1}\, dt$

      1. пусть $u = t - 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(t - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(t - 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(1 - t \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left(1 - t \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

=

=

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

Численный ответ

44.0909567862195

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |     1                      
 | 1*----- dt = C - log(1 - t)
 |   1 - t                    
 |                            
/                             

$$\int 1 \cdot \frac{1}{1 - t}\, dt = C - \log{\left(1 - t \right)}$$