Интеграл 1/(1-x^5) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       5   
 |  1 - x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- x^{5} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- x^{5} + 1} = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4}{5 x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 5} - \frac{1}{5 x - 5}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4}{5 x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 4}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} + \frac{2 x^{2}}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} + \frac{3 x}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} + \frac{4}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2 x^{2}}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)}$

            Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3 x}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $6 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - 6 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)}$

            Таким образом, результат будет: $4 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)}$

         Результат есть: $6 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - 6 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + 2 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + 4 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{6}{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - \frac{6}{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{5 x - 5}\, dx = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{5} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{5} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{6}{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - \frac{6}{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{5} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x + \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} + \sqrt{2}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{5} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x + \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} + \sqrt{2}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{5} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x + \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} + \sqrt{2}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} + \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x - \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} - \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x + \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (- 125 t^{3} + 100 t^{2} - 30 t + x + 4 \right )} \right)\right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                1                                   
  /                /                                   
 |                |                                    
 |    1           |                 1                  
 |  ------ dx = - |  ------------------------------- dx
 |       5        |           /         2    3    4\   
 |  1 - x         |  (-1 + x)*\1 + x + x  + x  + x /   
 |                |                                    
/                /                                     
0                0                                     

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.43866862109416

Ответ (Неопределённый)

                                                                                                                                                                                                                                                                                         ____________                                                                                                  ____________                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                        /        ___      /               ___     ____                                    ___               \         /        ___      /                ____     ___                                  ___              \
                                                                                                                                                                                                                                                                                       /  1    \/ 5       |             \/ 2  + \/ 10                               4*x*\/ 2                |        /  1    \/ 5       |              \/ 10  - \/ 2                             4*x*\/ 2               |
                                                                                                                                    /                            /                      2        3\\            /                            /              2               3\\   6*  /   -- + ----- *atan|--------------------------------------- + ---------------------------------------|   6*  /   -- - ----- *atan|- ------------------------------------- + -------------------------------------|
  /                                                                                                                                 |               4            |  16       20*t   75*t    625*t ||            |               4            |14       100*t    45*t   375*t ||     \/    10     50       |     ___________            ___________        ___________            ___________|     \/    10     50       |     ___________            ___________      ___________            ___________|
 |                                      /         3              2        4            /             3               2\\   2*RootSum|1 - 5*t + 125*t , t -> t*log|- -- + x + ---- + ----- + ------||   4*RootSum|1 + 5*t + 125*t , t -> t*log|-- + x - ------ + ---- + ------||                           |    /       ___      ___   /       ___        /       ___      ___   /       ___ |                           |    /       ___      ___   /       ___      /       ___      ___   /       ___ |
 |   1             log(-1 + x)   RootSum\1 - 125*t  - 10*t + 50*t  + 125*t , t -> t*log\4 + x - 125*t  - 30*t + 100*t //            \                            \  11        11      11      11  //            \                            \11         11      11      11  //                           \- \/  5 + \/ 5   + \/ 5 *\/  5 + \/ 5     - \/  5 + \/ 5   + \/ 5 *\/  5 + \/ 5  /                           \  \/  5 - \/ 5   + \/ 5 *\/  5 - \/ 5     \/  5 - \/ 5   + \/ 5 *\/  5 - \/ 5  /
 | ------ dx = C - ----------- + --------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------ - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
 |      5               5                                                   5                                                                                  5                                                                          5                                                                                            5                                                                                                            5                                                    
 | 1 - x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
 |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
/                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

$${{\left(\sqrt{5}+3\right)\,\log \left(2\,x^2+\left(\sqrt{5}+1 \right)\,x+2\right)}\over{2\,5^{{{3}\over{2}}}+10}}-{{\left(\sqrt{5} -3\right)\,\log \left(2\,x^2+\left(1-\sqrt{5}\right)\,x+2\right) }\over{10-2\,5^{{{3}\over{2}}}}}+{{\left(\sqrt{5}-1\right)\,\arctan \left({{4\,x+\sqrt{5}+1}\over{\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}}}\right)}\over{ \sqrt{5}\,\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}}}+{{\left(\sqrt{5}+1\right)\, \arctan \left({{4\,x-\sqrt{5}+1}\over{\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}}}\right) }\over{\sqrt{5}\,\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}}}-{{\log \left(x-1\right) }\over{5}}$$