Интеграл 1/(1+e^(-x)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       1      
 |  1*------- dx
 |         -x   
 |    1 + e     
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{1 + e^{- x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{1}{1 + e^{- x}}$

2. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(1 + \frac{1}{u}\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(1 + \frac{1}{u}\right)} = \frac{1}{u + 1}$

      2. пусть $u = u + 1$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (u + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(1 + \frac{1}{u}\right)} = \frac{1}{u + 1}$

      2. пусть $u = u + 1$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\log{\left (e^{x} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (e^{x} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (e^{x} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                /     -1\
1 - log(2) + log\1 + e  /

$$- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(e^{-1} + 1 \right)} + 1$$

=

=

                /     -1\
1 - log(2) + log\1 + e  /

$$- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(e^{-1} + 1 \right)} + 1$$

Численный ответ

0.620114506958278

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 |      1                /   -x\      /       -x\
 | 1*------- dx = C - log\2*e  / + log\2 + 2*e  /
 |        -x                                     
 |   1 + e                                       
 |                                               
/                                                

$$\int 1 \cdot \frac{1}{1 + e^{- x}}\, dx = C + \log{\left(2 + 2 e^{- x} \right)} - \log{\left(2 e^{- x} \right)}$$

График