Интеграл 1/(1+y^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |       2   
 |  1 + y    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dy
 |      2   
 | 1 + y    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

  1          1    
------ = ---------
     2       2    
1 + y    (-y)  + 1

или

  /           
 |            
 |   1        
 | ------ dy  
 |      2    =
 | 1 + y      
 |            
/             
  

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dy
 |     2       
 | (-y)  + 1   
 |             
/              

В интеграле

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dy
 |     2       
 | (-y)  + 1   
 |             
/              

сделаем замену

v = -y

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     

делаем обратную замену

  /                      
 |                       
 |     1                 
 | --------- dy = atan(y)
 |     2                 
 | (-y)  + 1             
 |                       
/                        

Решением будет:

C + atan(y)

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1         pi
 |  ------ dy = --
 |       2      4 
 |  1 + y         
 |                
/                 
0                 

$${{\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

0.785398163397448

Ответ (Неопределённый)

  /                       
 |                        
 |   1                    
 | ------ dy = C + atan(y)
 |      2                 
 | 1 + y                  
 |                        
/                         

$$\arctan y$$