Интеграл 1/(1+x^5) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       5   
 |  1 + x    
 |           
/            
0

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{5} + 1}\, dx$$

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:
$\frac{1}{x^{5} + 1} = - \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4}{5 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 5} + \frac{1}{5 x + 5}$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int - \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4}{5 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 5}\, dx = - \frac{1}{5} \int \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} + \frac{3 x}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} - \frac{4}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
      Но интеграл
      $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      $\int - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx$
      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
        Но интеграл
        $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)}$
      Таким образом, результат будет: $- 2 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      $\int \frac{3 x}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx$
      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
        Но интеграл
        $- 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + 2 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )}$
      Таким образом, результат будет: $- 6 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + 6 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      $\int - \frac{4}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx$
      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.
        Но интеграл
        $\operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)}$
      Таким образом, результат будет: $- 4 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)}$
    Результат есть: $- 6 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + 6 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} - 2 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} - 4 \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{6}{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - \frac{6}{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} - \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  $\int \frac{1}{5 x + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
  1. пусть $u = x + 1$ .
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    $\log{\left (x + 1 \right )}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \log{\left (x + 1 \right )}$
Результат есть: $\frac{1}{5} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{6}{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} - \frac{6}{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{50} + \frac{1}{10}} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{- \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} - \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}$
Теперь упростить:
$\frac{1}{5} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} - \sqrt{2}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} - \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:
$\frac{1}{5} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} - \sqrt{2}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} - \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{5} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{3}{25} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{10} - \sqrt{2}}{\left(-1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{3}{25} \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10} \operatorname{atan}{\left (\frac{4 \sqrt{2} x - \sqrt{2} + \sqrt{10}}{\left(1 + \sqrt{5}\right) \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} + 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{625 t^{3}}{11} - \frac{75 t^{2}}{11} + \frac{20 t}{11} + x + \frac{16}{11} \right )} \right)\right)} + \frac{4}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 5 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (\frac{375 t^{3}}{11} + \frac{100 t^{2}}{11} + \frac{45 t}{11} + x - \frac{14}{11} \right )} \right)\right)} - \frac{1}{5} \operatorname{RootSum} {\left(125 t^{4} - 125 t^{3} + 50 t^{2} - 10 t + 1, \left( t \mapsto t \log{\left (125 t^{3} - 100 t^{2} + 30 t + x - 4 \right )} \right)\right)}+ \mathrm{constant}$

График

Ответ [src]

  1                                                                                                                                                     
  /                                                                                                                                                     
 |                                                                                                                                                      
 |    1                  /              2        3        4                 \   log(2)          /              2        3        4                     \
 |  ------ dx = - RootSum\1 + 5*t + 25*t  + 125*t  + 625*t , t -> t*log(5*t)/ + ------ + RootSum\1 + 5*t + 25*t  + 125*t  + 625*t , t -> t*log(1 + 5*t)/
 |       5                                                                        5                                                                     
 |  1 + x                                                                                                                                               
 |                                                                                                                                                      
/                                                                                                                                                       
0

$${{\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}\,\arctan \left({{\left(\sqrt{5}+5\right)\, \sqrt{2\,\sqrt{5}+10}}\over{20}}\right)}\over{10}}-{{-\sqrt{10-2\, \sqrt{5}}\,\arctan \left({{\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}\,\left(3\,\sqrt{5}+ 5\right)}\over{20}}\right)+\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}\,\arctan \left({{ \sqrt{2\,\sqrt{5}+10}\,\left(3\,\sqrt{5}-5\right)}\over{20}}\right)- \log 2}\over{10}}+{{\log \left(\sqrt{5}+3\right)}\over{4\,\sqrt{5}}} -{{\log \left(\sqrt{5}+3\right)}\over{20}}-{{\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}\, \arctan \left({{\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}\,\left(\sqrt{5}-5\right) }\over{20}}\right)}\over{10}}-{{\log \left(3-\sqrt{5}\right)}\over{4 \,\sqrt{5}}}-{{\log \left(3-\sqrt{5}\right)}\over{20}}+{{\log 2 }\over{5}}$$

Численный ответ [src]

0.888313572651789

Ответ (Неопределённый) [src]

                                                                                                                                                                                                                                                                                         ____________                                                                                                    ____________                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                        /        ___      /                 ___     ____                                    ___               \         /        ___      /              ____     ___                                  ___              \
                                                                                                                                                                                                                                                                                       /  1    \/ 5       |               \/ 2  + \/ 10                               4*x*\/ 2                |        /  1    \/ 5       |            \/ 10  - \/ 2                             4*x*\/ 2               |
                                                                                                                                    /                            /             2               3\\            /                            /                       2        3\\   6*  /   -- + ----- *atan|- --------------------------------------- + ---------------------------------------|   6*  /   -- - ----- *atan|------------------------------------- + -------------------------------------|
  /                                                                                                                                 |               4            |16       75*t    20*t   625*t ||            |               4            |  14       45*t   100*t    375*t ||     \/    10     50       |       ___________            ___________        ___________            ___________|     \/    10     50       |   ___________            ___________      ___________            ___________|
 |                        /         3              2        4            /              2               3\\                2*RootSum|1 + 5*t + 125*t , t -> t*log|-- + x - ----- + ---- + ------||   4*RootSum|1 - 5*t + 125*t , t -> t*log|- -- + x + ---- + ------ + ------||                           |      /       ___      ___   /       ___        /       ___      ___   /       ___ |                           |  /       ___      ___   /       ___      /       ___      ___   /       ___ |
 |   1             RootSum\1 - 125*t  - 10*t + 50*t  + 125*t , t -> t*log\-4 + x - 100*t  + 30*t + 125*t //   log(1 + x)            \                            \11         11     11      11  //            \                            \  11        11      11       11  //                           \  - \/  5 + \/ 5   + \/ 5 *\/  5 + \/ 5     - \/  5 + \/ 5   + \/ 5 *\/  5 + \/ 5  /                           \\/  5 - \/ 5   + \/ 5 *\/  5 - \/ 5     \/  5 - \/ 5   + \/ 5 *\/  5 - \/ 5  /
 | ------ dx = C - ---------------------------------------------------------------------------------------- + ---------- + ----------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------
 |      5                                                     5                                                   5                                           5                                                                          5                                                                                              5                                                                                                            5                                                   
 | 1 + x                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
 |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
/

$${{\left(\sqrt{5}-3\right)\,\log \left(2\,x^2+\left(\sqrt{5}-1 \right)\,x+2\right)}\over{10-2\,5^{{{3}\over{2}}}}}-{{\left(\sqrt{5} +3\right)\,\log \left(2\,x^2+\left(-\sqrt{5}-1\right)\,x+2\right) }\over{2\,5^{{{3}\over{2}}}+10}}+{{\left(\sqrt{5}+1\right)\,\arctan \left({{4\,x+\sqrt{5}-1}\over{\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}}}\right)}\over{ \sqrt{5}\,\sqrt{2\,\sqrt{5}+10}}}+{{\left(\sqrt{5}-1\right)\, \arctan \left({{4\,x-\sqrt{5}-1}\over{\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}}}\right) }\over{\sqrt{5}\,\sqrt{10-2\,\sqrt{5}}}}+{{\log \left(x+1\right) }\over{5}}$$

Упростить

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/(1+x^5) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Кусочно-заданная:

Решение