Интеграл 1/(1+x^6) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |         6   
 |    1 + x    
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{6} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $1 \cdot \frac{1}{x^{6} + 1} = - \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx}{3}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)} - \operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}$

         Результат есть: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}$

   Результат есть: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       ___    /      ___\     ___    /      ___\
pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
-- - -------------------- + --------------------
6             12                     12         

$$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}}{12} + \frac{\pi}{6}$$

=

=

       ___    /      ___\     ___    /      ___\
pi   \/ 3 *log\2 - \/ 3 /   \/ 3 *log\2 + \/ 3 /
-- - -------------------- + --------------------
6             12                     12         

$$- \frac{\sqrt{3} \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}}{12} + \frac{\pi}{6}$$

Численный ответ

0.903771773748772

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                               
 |                                 /  ___      \       /    ___      \     ___    /     2       ___\     ___    /     2       ___\
 |     1             atan(x)   atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/   \/ 3 *log\1 + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\1 + x  + x*\/ 3 /
 | 1*------ dx = C + ------- + ----------------- + ------------------- - --------------------------- + ---------------------------
 |        6             3              6                    6                         12                            12            
 |   1 + x                                                                                                                        
 |                                                                                                                                
/                                                                                                                                 

$$\int 1 \cdot \frac{1}{x^{6} + 1}\, dx = C - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$$

График