Интеграл 1/(sin(x/a)) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |     /x\   
 |  sin|-|   
 |     \a/   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{a} \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 |    /x\   
 | sin|-|   
 |    \a/   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  1   
------
   /x\
sin|-|
   \a/

Домножим числитель и знаменатель на

   /x\
sin|-|
   \a/

получим

             /x\
          sin|-|
  1          \a/
------ = -------
   /x\      2/x\
sin|-|   sin |-|
   \a/       \a/

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2/x\          2/x\
sin |-| = 1 - cos |-|
    \a/           \a/

преобразуем знаменатель

    /x\         /x\  
 sin|-|      sin|-|  
    \a/         \a/  
------- = -----------
   2/x\          2/x\
sin |-|   1 - cos |-|
    \a/           \a/

сделаем замену

       /x\
u = cos|-|
       \a/

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    sin|-|       
 |       \a/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \a/     
 |                 
/                  

  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    sin|-|       
 |       \a/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \a/     
 |                 
/                  

Т.к. du = -dx*sin(x/a)/a

  /              
 |               
 |       /x\     
 |    sin|-|     
 |       \a/     
 | ----------- du
 |        2/x\   
 | 1 - cos |-|   
 |         \a/   
 |               
/                

Перепишем подинтегральную функцию

      /x\                        
   sin|-|                        
      \a/     -a  /  1       1  \
----------- = ---*|----- + -----|
       2/x\    2  \1 - u   1 + u/
1 - cos |-|                      
        \a/                      

тогда

                       /  /             /        \   
                       | |             |         |   
  /                    | |   1         |   1     |   
 |                  -a*| | ----- du +  | ----- du|   
 |       /x\           | | 1 + u       | 1 - u   |   
 |    sin|-|           | |             |         |   
 |       \a/           \/             /          /  =
 | ----------- du = -------------------------------  
 |        2/x\                     2                 
 | 1 - cos |-|                                       
 |         \a/                                       
 |                                                   
/                                                    

= u*sin(x/a)/(1 - cos(x/a)^2)

делаем обратную замену

       /x\
u = cos|-|
       \a/

Ответ

               /                                            1         
  /            |                  0                     for - = 0     
 |             |                                            a         
 |   1         |                                                      
 | ------ dx = <  /   /        /x\\      /       /x\\\                
 |    /x\      |  |log|-1 + cos|-||   log|1 + cos|-|||            + C0
 | sin|-|      |  |   \        \a//      \       \a//|                
 |    \a/      |a*|---------------- - ---------------|  otherwise     
 |             \  \       2                  2       /                
/                                                                     
     

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1               1          
  /               /          
 |               |           
 |    1          |    1      
 |  ------ dx =  |  ------ dx
 |     /x\       |     /x\   
 |  sin|-|       |  sin|-|   
 |     \a/       |     \a/   
 |               |           
/               /            
0               0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{a} \right )}}\, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\frac{x}{a} \right )}}\, dx$$

Ответ (Неопределённый)

                   //                                            1    \
  /                ||                  0                     for - = 0|
 |                 ||                                            a    |
 |   1             ||                                                 |
 | ------ dx = C + |<  /   /        /x\\      /       /x\\\           |
 |    /x\          ||  |log|-1 + cos|-||   log|1 + cos|-|||           |
 | sin|-|          ||  |   \        \a//      \       \a//|           |
 |    \a/          ||a*|---------------- - ---------------|  otherwise|
 |                 \\  \       2                  2       /           /
/                                                                      

$$a\,\left({{\log \left(\cos \left({{x}\over{a}}\right)-1\right) }\over{2}}-{{\log \left(\cos \left({{x}\over{a}}\right)+1\right) }\over{2}}\right)$$