Интеграл 1/(t^2+t) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dt
 |   2       
 |  t  + t   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2} + t}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{t^{2} + t} = - \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

      1. пусть $u = t + 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (t + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (t + 1 \right )}$

   1. Интеграл $\frac{1}{t}$ есть $\log{\left (t \right )}$.

   Результат есть: $\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (t \right )} - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1           
 |  ------ dt = oo
 |   2            
 |  t  + t        
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |   1                                
 | ------ dt = C - log(1 + t) + log(t)
 |  2                                 
 | t  + t                             
 |                                    
/                                     

$$\log t-\log \left(t+1\right)$$