Интеграл 1/(3-cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |        1        
 |  1*---------- dx
 |    3 - cos(x)   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{3 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $1 \cdot \frac{1}{3 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 3}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 3}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- \frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{x}{2 \pi} - \frac{1}{2}}\right\rfloor\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     ___     ___ /          /  ___         \\
pi*\/ 2    \/ 2 *\-pi + atan\\/ 2 *tan(1/2)//
-------- + ----------------------------------
   2                       2                 

$$\frac{\sqrt{2} \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}\right)}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$

=

=

     ___     ___ /          /  ___         \\
pi*\/ 2    \/ 2 *\-pi + atan\\/ 2 *tan(1/2)//
-------- + ----------------------------------
   2                       2                 

$$\frac{\sqrt{2} \left(- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}\right)}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$

Численный ответ

0.465136000751229

Ответ (Неопределённый)

                               /        /x   pi\                     \
                               |        |- - --|                     |
  /                        ___ |        |2   2 |       /  ___    /x\\|
 |                       \/ 2 *|pi*floor|------| + atan|\/ 2 *tan|-|||
 |       1                     \        \  pi  /       \         \2///
 | 1*---------- dx = C + ---------------------------------------------
 |   3 - cos(x)                                2                      
 |                                                                    
/                                                                     

$$\int 1 \cdot \frac{1}{3 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \pi \left\lfloor{\frac{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}}{\pi}}\right\rfloor\right)}{2}$$

График