Интеграл 1/(y-y^3) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |       3   
 |  y - y    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- y^{3} + y}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- y^{3} + y} = - \frac{1}{2 y + 2} - \frac{1}{2 y - 2} + \frac{1}{y}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 y + 2}\, dy = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

      1. пусть $u = y + 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 y - 2}\, dy = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1}\, dy$

      1. пусть $u = y - 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}$

   1. Интеграл $\frac{1}{y}$ есть $\log{\left (y \right )}$.

   Результат есть: $\log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (y \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1           
 |  ------ dy = oo
 |       3        
 |  y - y         
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

65.7893509368196

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |   1             log(1 + y)   log(-1 + y)         
 | ------ dy = C - ---------- - ----------- + log(y)
 |      3              2             2              
 | y - y                                            
 |                                                  
/                                                   

$$-{{\log \left(y+1\right)}\over{2}}+\log y-{{\log \left(y-1\right) }\over{2}}$$